Методична розробка з математики (5, 6 клас) на тему: Розвиток прийомів і методів вирішення учнями 5-6 класів нестандартних текстових завдань.

Розвиток прийомів і методів вирішення учнями 5-6 класів нестандартних текстових задач

виконала:

Багаутдинова Флюрі

Асхатовна

вчитель математики

ГБОУ ЗОШ с.Камишла

м Самара 2016

Пояснювальна записка

Загальновизнано, що рішення задач є найважливішим засобом формування у школярів системи основних математичних знань, умінь, навичок; провідною формою навчальної діяльності учнів в процесі вивчення математики; одним з факторів їх математичного і особистісного розвитку. Ефективне використання завдань в процесі навчання в значній мірі визначає не тільки якість навчання математики, а й їх виховання, розвиток індивідуальних сутнісних якостей і ступінь їх практичної підготовленості до діяльності в різних сферах економіки, політики, науки, мистецтва.

Аналіз результатів різних моніторингів та олімпіад говорить про те, що решаемость завдання, що містить текстову задачу, становить в середньому близько 30%. Така ситуація дозволяє зробити висновок, що більшість учнів не в повній мірі володіють технікою рішення текстових завдань і не вміють побачити типові завдання, які були відпрацьовані на уроках в рамках шкільної програми. З цієї причини виникла необхідність більш глибокого вивчення цього традиційного розділу елементарної математики.

Олімпіадні завдання з математики - це завдання підвищеної складності, нестандартна як за формулюванням, так і за методами вирішення. При вирішенні олімпіадних завдань розвивається творче і логічне мислення, формуються здібності нестандартно мислити, проявляється самостійність, вміння застосовувати і використовувати отримані знання у вирішенні прикладних і практичних завдань. На жаль, на уроках часто не вистачає часу на рішення і розбір таких завдань.

Яке завдання з математики може називатися нестандартної? Гарне визначення наведене в книзі «Як навчитися вирішувати завдання» авторів Л.М. Фрідмана, Е.Н. Турецького. Нестандартні завдання - це такі, для яких в курсі математики немає загальних правил і положень, що визначають точну програму їх вирішення

Нестандартна завдання на відміну від традиційної не може бути безпосередньо в тій формі, в якій вона пред'явлена, вирішена за будь-якою алгоритму. Такі завдання не сковують учня жорсткими рамками одного рішення. Необхідний пошук рішення, що вимагає творчої роботи логічного мислення і сприяє його розвитку. Таке завдання може бути дуже простий, але з незвичайним змістом, що вимагає при її вирішенні напруги розуму і роботи операцій логічного мислення.

При вирішенні нестандартних завдань розвиваються уяви і фантазія, пам'ять і увагу, гнучкість мислення, розум дитини стає гостріше, формуються вміння спостерігати, аналізувати явища, проводити порівняння, узагальнювати факти, робити висновки. Міркування учнів стають - послідовними, доказовими, логічними, а мова - чіткої, переконливою і аргументованою.

Уміння вирішувати завдання - критерій успішності в навчанні. Дуже важливо показати, як звичайну життєву ситуацію можна описати математичною моделлю.

Нестандартні завдання діляться на 2 категорії:

I категорія. Завдання, що примикають до шкільного курсу математики, але підвищеної труднощі - типу завдань математичних олімпіад.

II категорія. Завдання типу математичних розваг.

Перша категорія нестандартних завдань призначається в основному для школярів з визначеним інтересом до математики; тематично ці завдання зазвичай пов'язані з тим чи іншим певним розділом шкільної програми. Відносяться сюди вправи поглиблюють навчальний матеріал, доповнюють і узагальнюють окремі положення шкільного курсу, розширюють математичний кругозір, розвивають навички у вирішенні складних завдань.

Друга категорія нестандартних завдань прямого відношення до шкільної програми не має і, як правило, не передбачає великий математичної підготовки. Це не означає, однак, що в другу категорію завдань входять тільки легкі вправи. Тут є завдання з дуже важким рішенням

Матеріали розробки можуть бути використані як в рамках уроку (5 - 7 клас), так і на заняттях математичного гуртка або факультативу.

Мета роботи: розвиток в учнів 5-6 класів практичних навичок вирішення нестандартних текстових задач

Викладання даного курсу направлено на досягнення наступної мети: формування вміння застосовувати знання у нестандартній ситуації на прикладі текстових завдань.

Виходячи з мети, курс вирішує наступні завдання:

• визначити рівень здібностей учнів і рівень їх готовності до вирішення олімпіадних завдань і до профільного навчання в школі, вузі;
• систематизувати раніше отримані знання за рішенням текстових завдань;
• познайомити учнів з найближчим розвитком методів вирішення текстових завдань і їх різноманітністю;
• навчити застосовувати різні методи і прийоми при вирішенні текстових завдань.

Для успішного вирішення олімпіадних завдань необхідні наступні фактори:

• обсяг фактичних знань;
• розвинені уява, фантазія, інтуїція;
• досвід самостійних рішень;
• навички володіння основними розумовими операціями

(Аналіз, синтез, порівняння, зіставлення, аналогія і т.д.);

• постійне вдосконалення логічних навичок.

Стандартна схема рішення текстових завдань така:

• аналіз умови, введення літерних позначень;
• схематичний запис умови у вигляді таблиці, схеми;
• складання моделі (рівняння, нерівності, системи);
• рішення рівняння (нерівності, системи);
• перевірка коренів (чи мають сенс в контексті умови задачі);
• дослідження, узагальнення завдання або способу рішення на видозмінені умови.

Досвід показує, що перші три пункти викликають у учнів найбільші труднощі. Для вирішення цієї проблеми розглядаються базові завдання.

Очікувані результати

Після вивчення курсу учні повинні:

• вибирати ефективні методи вирішення того чи іншого завдання;
• вміти застосовувати отримані математичні знання при вирішенні завдань;
• вміти застосовувати додаткову інформацію для вирішення конкретних текстових завдань.

додатки

1.Из двох пунктів А і В, що знаходяться один від одного на відстані 120 км, по прямолінійним дорогах, що сходяться в пункті С під кутом 60 °, одночасно виїхали в С відповідно зі швидкостями 40км / год і 60 км / год автобус і вантажівка. Автобус прибув в С на 1 годину раніше вантажівки. За якийсь час автобус проїхав шлях ВС?

2.Із бака, наповненого спиртом, вилили частину спирту і доповнили водою. Потім з бака вилили стільки ж літрів суміші. Після цього в баку залишилося 49 літрів чистого спирту. Скільки літрів спирту вилили в перший раз і скільки в другій, якщо місткість бака 64 літри?

3. Ваня, Міша, Алік і Вадим ловили рибу. Виявилося, що кількість риб, спійманих кожним з них, утворюють в зазначеному порядку арифметичну прогресію. Якби Алік зловив стільки ж риб, скільки Вадим, а Вадим зловив би на 12 риб більше, то кількість риб, спійманих юнаками, утворювали б в тому ж порядку геометричну прогресію. Скільки риб зловив Міша?

4. У класі 38 чоловік. З них 16 грають в баскетбол, 17 - в хокей, 18 - в футбол. Захоплюються двома видами спорту - баскетболом і хокеєм - четверо, баскетболом і футболом - троє, футболом і хокеєм - п'ятеро. Троє не захоплюються ні баскетболом, ні хокеєм, ні футболом.

Скільки хлопців захоплюються одночасно трьома видами спорту?

Скільки хлопців захоплюється лише одним з цих видів спорту?

Рішення.

Скористаємося колами Ейлера.

Нехай велике коло зображує всіх учнів класу,

а три менших кола Б, Х і Ф зображують відповідно баскетболістів, хокеїстів і футболістів.

Тоді фігура Z, загальна частина кіл Б, Х і Ф, зображує хлопців, які захоплюються трьома видами спорту.

З розгляду кіл Ейлера видно, що одним лише виглядом спорту -

баскетболом займаються

16 - (4 + z + 3) = 9 - z;

одним лише хокеєм

17 - (4 + z + 5) = 8 - z;

одним лише футболом

18 - (3 + z + 5) = 10 - z.

Складаємо рівняння, користуючись тим, що клас розбився на окремі групи хлопців; кількості хлопців в кожній групі обведені на малюнку рамочку:

3 + (9 - z) + (8 - z) + (10 - z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,

z = 2.

Таким чином, двоє хлопців захоплюються усіма трьома видами спорту.

Складаючи числа 9 - z, 8 - z і 10 - z, де z = 2, знайдемо кількість хлопців, які захоплюються лише одним видом спорту: 21 людина.

Відповідь.

Двоє хлопців захоплюються усіма трьома видами спорту людини.

Захоплюються лише одним видом спорту: 21 людина.

Метод Ейлера є незамінним при вирішенні деяких завдань, а також спрощує міркування. Однак, перш ніж приступити до вирішення завдання, потрібно проаналізувати умова. Іноді за допомогою арифметичних дій вирішити задачу легше.

"Залюднений острів" і "Стиляги"

5. Деякі хлопці з нашого класу люблять ходити в кіно. Відомо, що 15 хлопців дивилися фільм «Залюднений острів», 11 осіб - фільм «Стиляги», з них 6 дивилися і «Залюднений острів», і «Стиляги». Скільки людей дивилися тільки фільм «Стиляги»?

Рішення

Креслимо два безлічі таким чином:

6 осіб, які дивилися фільми «Залюднений острів» і «Стиляги», поміщаємо в перетин множин.

15 - 6 = 9 - людина, які дивилися тільки «Залюднений острів».

11 - 6 = 5 - людина, які дивилися тільки «Стиляги».

отримуємо:

Відповідь. 5 людей дивилися тільки «Стиляги».

Завдання №6. - Для одного коня і двох корів видають щодня 34 кг сіна, а для двох коней і однієї корови -35 кг сіна. Скільки сіна видають одного коня і скільки одній корові?

Запишемо короткий умову задачі:

1 коня і 2 корів -34кг.

2 коней і 1 корів -35кг.

Чи можна дізнатися, скільки сіна потрібно для 3 коней і 3 корів?

(Для 3 коней і 3 корів - 34 + 35 = 69 кг)

Чи можна дізнатися, скільки сіна потрібно для одного коня і однієї корови? (69: 3 - 23кг)

Скільки сіна потрібно для одного коня? (35-23 = 12кг)

Скільки сіна потрібно для однієї корови? (23 -13 = 11кг)

Відповідь: 12кг і 11 кг

7.Семья складається з чоловіка, дружини і їх дочки студентки. Якби зарплата чоловіка збільшилася вдвічі, загальний дохід сім'ї виріс би на 67%. Якби стипендія дочки зменшилася втричі, загальний дохід сім'ї скоротився б на 4%. Скільки відсотків від загального доходу сім'ї становить зарплата дружини?
Рішення.
Якби зарплата чоловіка збільшилася вдвічі, загальний дохід сім'ї виріс би на 67%, тобто зарплата чоловіка становить 67% доходу сім'ї. Якби стипендія дочки зменшилася втричі, загальний дохід сім'ї скоротився б на 4%, тобто 2/3 стипендії становлять 4% доходу сім'ї, а вся стипендія дочки становить 6% доходу сім'ї. Таким чином, дохід дружини становить 100% - 67% - 6% = 27% доходу сім'ї.

Відповідь: 27.

8. Банк нараховує 5% річного доходу. Початковий внесок дорівнював 10 000 р. Після нарахування річного доходу внесок можна доповнити певною сумою. Знайдіть її величину, якщо загальний внесок через 2 роки повинен дорівнювати 21 000 р.

Рішення: Через один рік внесок збільшиться на 5% від 10 000 р., Т. Е. На 500 р. Тому після першого року внесок буде дорівнює 10 500 р. Нехай S - додатковий внесок. Тоді на початку другого року зберігання внесок буде дорівнює 10 500 + S рублів. Після другого року він збільшиться на 5% від цієї суми, тобто. Е. На 0,05 (10 500 + S) = 525 + 0,05S рублів. Тому після другого року вклад буде дорівнює (10 500 + S) + (525 + 0,05S) рублів. За умовою цей внесок дорівнює 21 000 р. значить,

10 500 + S + (525 + 0,05S) = 21 000,

1, 05S = 9975,

S = 9500.

Відповідь 9500

Завдання на концентрацію суміші і сплави

9. Є два злитки сплаву золота з міддю. Перший злиток містить 230 г золота і 20 г міді, а другий злиток - 240 г золота і 60 г міді. Від кожного злитка взяли по шматку, сплавили їх і отримали 300 г сплаву, в якому опинилося 84% золота. Визначити масу (в грамах) шматка, взятого від першого злитка.

Рішення: Визначимо процентний вміст золота в обох злитках.

1) 230 + 20 = 250 (г) - маса 1-го зливка, 230/250 = 0,92 (92%) процентний вміст золота в 1-м злитку.

2) 240 + 60 = 300 (г) - маса 2-го зливка, 240/300 = 0,8 (80%) - процентний вміст золота в 2-му злитку. Нехай х маса шматка, взятого від 1-го зливка, (300 - х) - маса шматка, взятого від 2-го зливка, отримаємо рівняння 0,92х + 0,8 (300 - х) = 0,84 * 300, звідки х = 100.

Відповідь: 100 г.

10. Перший сплав срібла і міді містить 70 г міді, а другий сплав - 210 г срібла і 90 г міді. Взяли 225 г першого сплаву і шматок другого сплаву, сплавили їх і отримали 300 г сплаву, який містить 82% срібла. Скільки грамів срібла містилося в першому сплаві?

Рішення:

Нехай х г срібла міститься в 1-м сплаві, тоді 70 / (х + 70) - яку частину 1-го сплаву складає мідь, 90 / (210 + 90) - таку частину становить мідь у 2-му сплаві, шматок другого сплаву 300 - 225 = 75 г, тоді отримуємо рівняння.

225 * (70 / (х + 70)) + 75 * (90/300) = (1 - 0,82) * 300, звідки х = 430 г

Відповідь: 430 г.

11. При змішуванні 5% -ного розчину кислоти з 40% -ним розчином кислоти отримали 140г 30% -ного розчину. Скільки грамів кожного розчину було для цього взято?

1 спосіб вирішення: Рішення (за допомогою системи рівнянь):

Простежимо за вмістом кислоти в розчинах. Візьмемо для змішування х г 5% -ного розчину кислоти (або 0,05х г) і у г 40% -ного розчину (або 0,4у г). Так як в 140 г нового розчину кислоти стало міститися 30%, тобто 0,38140 г, то отримуємо наступне рівняння 0,05х + 0,4у = 0,3 ∙ 140. Крім того х + у = 140. Таким чином, приходимо до наступної системи рівнянь:

0,05х + 0,4у = 0,3 ∙ 140,

х + у = 140

З цієї системи знаходимо х = 40, у = 100. Отже, 5% -ного розчину кислоти слід взяти 40г, а 40% - ного розчину слід взяти 100г.

Відповідь: 40г, 100г.

2 спосіб (старовинний спосіб) рішення.

Один під одним пишуться змісту кислот наявних розчинів, зліва від них і приблизно посередині - кислотність в розчині, який повинен вийти після змішування. Поєднавши написані числа рисками, отримаємо таку схему:

Розглянемо пари 30 і 5; 30 і 40.В кожній парі з більшого числа віднімемо менше, і результат запишемо в кінці відповідної рисочки. Вийде така схема:

25 + 10 = 35 (частин всього)

140: 35 = 4 (г) - припадає на 1 частина

4 * 25 = 100 (г) - 40% -ного розчину

10 * 4 = 40 (г) - 30% - ного розчину

5% - ного розчину слід взяти 10 частин, а 40% -ного - 25 частин

(140: 35 = 4 г доводиться на одну частину), т. Е. Для отримання 140 г 30% -ного розчину потрібно взяти 5% -ного розчину 40 грамів, а 40% -ного - 100 грамів.

Відповідь: 40 г, 100 г.

12. Є срібло 12-й, 11-й і 5-ї проби. Скільки якого срібла треба взяти для отримання 1 кг. срібла 9-ї проби?

Рішення: Складемо схему два рази: перший раз, взявши срібло найменшою і найбільшою пробою, а другий раз - з найменшою і середньої пробою.

5 12-9 = 3 3 +2 = 5

9

12 9-5 = 4 4

5 11-9 = 2

9

11 9-5 = 4 4

У підсумку: 5 + 4 + 4 = 13.

За схемою знайдені частки, в яких потрібно сплавити срібло найбільшою і середньої проби (4 і 4). Склавши потім частки срібла найменшою проби, знайдені в першій і в другій раз (3 + 2 = 5), отримаємо частку срібла найменшою проби в загальному сплаві. Таким чином, треба взяти 5 / 13кг срібла 5 -й проби, 4/13 кг срібла 12-ї проби і 4/13 кг. срібла 11 проби.

13. У яких пропорціях потрібно змішати розчин 50% -й і 70% -й кислоти, щоб отримати розчин 65% - 1 кислоти?

а) Розглянемо алгебраїчний спосіб вирішення:

Нехай х г - маса 50% -й кислоти, y г - маса 70% -й кислоти, 0,5 х г - маса чистої кислоти в першому розчині, 0,7у р - маса чистої кислоти в другому розчині, (x + y ) г - маса суміші, 0,65 (x + y) г - маса чистої кислоти в суміші. Складемо рівняння:

0,5x + 0,7y = 0,65 (x + y) | : У ≠ 0

0,5 · +0,7 = 0,65 · +0.65

0,15 = 0,05

=

=

х: у = 1: 3

Отримуємо співвідношення 1: 3.

Відповідь: 1: 3.

б) Розглянемо інший спосіб вирішення цього завдання. Він називається арифметичним (або старовинним) способом.

Намалюємо схему:

50 5

65

70 1 5

по якій видно, що для отримання 65% -й кислоти потрібно взяти 50% -й і 70% -й кислоти щодо 5: 15 = 1: 3.

14. Свіжі фрукти містять 72% води, а сухі - 20% води. Скільки сухих фруктів вийде з 20 кг свіжих?

Рішення: При вирішенні подібних завдань слід визначити ту величину, яка не змінюється при висиханні (зменшенні вологості). Незмінною в даних процесах залишається маса сухої речовини, т. Е. Продукту, в якому повністю відсутня вода. Якщо 20 кг фруктів мають вологість 72%, то рідина становить 20 × 0,72 = 14,4 кг, а суху речовину має масу 20 - 14,4 = 5,6 кг. Маса сухого речовини не змінюється при висиханні, тому в сухих фруктах, що містять 20% води, суху речовину становить 80%. Отже, 5,6 кг є 0,8 частиною від загальної маси сухих фруктів, а вся маса дорівнює 5,6 / 0,8 = 7 кг.

звідки 5,6кг-80%, ХКГ-100% Можна було отримати результат, склавши пропорцію

5,6X100: 80 = 7

Відповідь: з 20 кг свіжих фруктів вийде 7 кг сухих.

15. У мішку 3 червоних і 5 синіх кульок. З мішка дістали 4 кульки. Чи можна стверджувати, що серед них є хоча б 1 червоний?

- Що знаємо з умови? (Є 3 червоних і 5 синіх кульок. Взяли 4) -

Намалюємо мішок, а в ньому кульки. - Складемо всі можливі варіанти, коли з мішка дістають 4 кульки.

червоні

сині

3

1

2

2

1

3

0

4

Що помітили? (Що завжди буде хоча б 1 синій, а ось червоних може не бути взагалі.) - Як же відповісти на питання завдання? (Ні.)

Список літератури

1. Журнал «Математика в школі» «Вчимося вірішуваті завдання». №36. 2004р.
2. Журнал «Математика в школі». «Завдання на суміші и сплави». №17. №11 2004р.
3. Бобровський, А.В. Текстові завдання курсу алгебри середньої школи. / А.Б. Бобровская.- 3-е вид., Доп. и перераб Шадрінськ: Iset, 1999.- 64 c: ил.
4. Ванцян, А.Г. ЦІ Непрості "Прості завдання" / А.Г. Ванцян // Практика образованія.- 2007.- № 3.- C. 20-22.
5. Демидова, Т.Є. Текстові завдання і методи їх вирішення [Текст] / Т.Є. Демидова, А.П. Тонкіх.- М .: изд-во Моск. ун-ту, 1999.- 261 с .: іл.
6. Єгер В.К., Зайцев В.В., та ін .; «2500 завдань з математики з рішеннями для вступників до вузів» Під редакцією Сканаві М.І.- вид. «Онікс 21 століття», «Мир і освіта» 2003 р (100-154 стор)
7. Корянов А.Г., Герасима Мартем'яновича Н.В. Завдання В13. Текстові завдання .. Математика ЕГЕ2014.
8. Проблеми реалізації ФГОС при навчанні математики в основній та старшій загальноосвітній школі: монографія / колектив авторів: Іванюк М.Є., Ліпілін В.В., Максютіна А.А.- Самара: вид-во ТОВ «Порто-принт», 2014.
9. Підготовка до вирішення олімпіадних завдань з математики /
10. Нестандартні завдання з математики. Алгебра. Учеб.пособие для учнів 7-11 класів / Галкін Є.В. Челябінськ: «Погляд», 2004.
11. 800 кращих завдань з математики для підготовки до ЄДІ для 9-11 класів / Балаян Е.Н.Ростов н / Д: Фенікс, 2013
12. Збірник завдань з алгебри: Учеб. посібник для 8-9 кл. з кут. вивченням математики / Галицький М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.І. М: Просвещение, 2003.
13. Севрюков П.Ф. М .: Ілекса; Народна освіта; Ставрополь 2009
14. джерело: http://refleader.ru/ujgbewjge.html
15. джерело: http://refleader.ru/ujgbewjge.html

WWW.mathege.ru Математика ЄДІ 2013 (відкр